引言
复合命题中如果无论其中出现的命题的真值是什么，它的真值总是真，称为永真式。真值永远为假的复合命题称为矛盾。最后，既不是永真式又不是矛盾的命题称为可能式。
逻辑等价
在所有可能的情况下都有相同真值的两个复合命题称为逻辑等价。用如下定义这一概念：
- 如果$p↔︎q$是永真式。命题$p$和$q$称为逻辑等价的。记作$p\equiv q$，有时也记作$p⇔q$。
符号$\equiv$不是逻辑链接符，因为$p\equiv q$不是复合命题。
摩根定律及应用
$\mathbf T$表示永远为真的复合命题，$\mathbf F$表示永远为假的复合命题。
| 名称 | 等价关系 |
|---|---|
| 摩根定律 | $\lnot (p\land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q$ $\lnot (p\lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q$ |
| 恒等律 | $p\land \mathbf T \equiv p$ $p\lor \mathbf F \equiv p$ |
| 支配律 | $p\lor \mathbf T \equiv \mathbf T$ $p\land \mathbf F \equiv \mathbf F$ |
| 幂等律 | $p\land p \equiv p$ $p\lor p \equiv p$ |
| 双非律 | $\lnot(\lnot p) \equiv p$ |
| 交换律 | $p\lor q \equiv q\lor p$ $p\land q\equiv q\land p$ |
| 结合律 | $(p\lor q)\lor r\equiv p\lor (q\lor r)$ $(p\land q)\land r\equiv p\land (q\land r)$ |
| 分配律 | $p\lor(q\land r) \equiv (p\lor q)\land (p\lor r)$ $p\land (q\lor r) \equiv (p\land q)\lor (p\land r)$ |
| 吸收律 | $p\lor (p\land q)\equiv p$ $p\land (p\lor q)\equiv p$ |
| 否定律 | $p\lor \lnot p\equiv \mathbf T$ $p\land \lnot p\equiv \mathbf F$ |
涉及条件语句的逻辑等价
| 等价关系 |
|---|
| $p\rightarrow q\equiv \lnot p\lor q $ |
| $p\rightarrow q\equiv \lnot q\rightarrow \lnot p$ |
| $p\lor q\equiv \lnot p\rightarrow q$ |
| $p\land q\equiv \lnot(p\rightarrow \lnot q) $ |
| $\lnot(p\rightarrow q)\equiv p\land \lnot q $ |
| $(p\rightarrow q)\land (p\rightarrow r)\equiv p\rightarrow (q\land r) $ |
| $(p\rightarrow r)\land (q\rightarrow r)\equiv (p\lor q)\rightarrow r $ |
| $(p\rightarrow q)\lor (p\rightarrow r)\equiv p\rightarrow (q\lor r) $ |
| $(p\rightarrow r)\lor (q\rightarrow r)\equiv (p\land q)\rightarrow r$ |
涉及双条件语句的逻辑等价
| 等价关系 |
|---|
| $p↔︎q \equiv (p\rightarrow q)\land (q\rightarrow p) $ |
| $p↔︎q \equiv \lnot p↔︎ \lnot q $ |
| $p↔︎q \equiv (p \land q)\lor (\lnot p\land \lnot q) $ |
| $\lnot (p↔︎q) \equiv p↔︎\lnot q $ |