推理规则
证明是建立在数学命题真实性之上的有效论证。
为从已有的命题中推出新的命题，应用推理规则，它是构造有效论证的模板。推理规则是建立命题真实性的基本工具。
命题逻辑的推理规则
命理逻辑中的论证是一连串的命题。除了论证中最后一个命题外都叫前提，最后的命题叫结论。当所有前提为真意味着结论为真时，一个论证是有效的。
表示命题逻辑论证有效的关键是表示出它的论证形式有效。
我们可以先建立一些简单的论证形式，称为推理规则这些推理规则可以作为模板来构造更多复杂的有效论证形式。
| 推理规则 | 永真式 | 名称 |
|---|---|---|
| $\begin{array}{cl} & p \ & \underline {p\rightarrow q} \ \therefore & q \ \end{array}$ | $[p\land(p\rightarrow q)]\rightarrow q$ | 假言推理 |
| $\begin{array}{cl} &\lnot p \ & \underline {p\rightarrow q} \ \therefore & \lnot p \ \end{array}$ | $[\lnot q\land (p\rightarrow q)]\rightarrow \lnot p$ | 取拒式 |
| $\begin{array}{cl} & p\rightarrow q \ & \underline {q\rightarrow r} \ \therefore & p\rightarrow r \ \end{array}$ | $[(p\rightarrow q)\land (q\rightarrow r)]\rightarrow (p\rightarrow r)$ | 假言三段论 |
| $\begin{array}{cl} & p\lor q \ & \underline {\lnot p} \ \therefore & q \ \end{array}$ | $[(p\lor q)\land \lnot p]\rightarrow q$ | 析取三段论 |
| $\begin{array}{cl} & \underline p \ \therefore & p\lor q \ \end{array}$ | $p\rightarrow (p\lor q)$ | 附加 |
| $\begin{array}{cl} &\underline {p\land q} \\therefore & p\ \end{array}$ | $(p\land q)\rightarrow p$ | 化简 |
| $\begin{array}{cl} & p \ & \underline q \ \therefore & p\land q \ \end{array}$ | $(p\land q)\rightarrow (p\land q)$ | 合取 |
| $\begin{array}{cl} & p\lor q \ & \underline {\lnot p\lor r} \ \therefore & q\lor r \ \end{array}$ | $[(p\lor q)\land (\lnot p\lor r)]\rightarrow (q\lor r)$ | 消解 |
量词命题的推理规则
| 推理规则 | 名称 |
|---|---|
| $\begin{array}{cl} & \underline {\forall xP(x)} \ \therefore & P(c) \ \end{array}$ | 全称示例 |
| $\begin{array}{cl} & \underline {P(x),任意c} \ \therefore & \forall xP(x)\ \end{array}$ | 全称生成 |
| $\begin{array}{cl} & \underline {\exists P(x)} \ \therefore & P(c),对某个元素\ \end{array}$ | 存在示例 |
| $\begin{array}{cl} & \underline {P(c),对某个元素} \ \therefore & \exists xP(x)\ \end{array}$ | 存在生成 |
| $\begin{array}{cl} & \forall x(P(x)\rightarrow Q(x)) \ & \underline {P(a), 其中a是论域中一个特定的元素} \ \therefore & Q(a) \ \end{array}$ | 全称假言推理 |
命题逻辑推理规则和量化语句的推理规则结合
| 推理规则 | 名称 |
|---|---|
| $\begin{array}{cl} & \forall x(P(x)\rightarrow Q(x)) \ & \underline {P(a), 其中a是论域中一个特定的元素} \ \therefore & Q(a) \ \end{array}$ | 全称假言推理 |
| $\begin{array}{cl} & \forall x(P(x)\rightarrow Q(x)) \ & \underline {\lnot Q(a), 其中a是论域中一个特定的元素} \ \therefore & \lnot P(a) \ \end{array}$ | 全称取拒推理 |
| $\begin{array}{cl} & \forall x(P(x)\rightarrow Q(x)) \ & \underline {\forall x(Q(x)\rightarrow R(x))} \ \therefore & \forall x(P(x)\rightarrow R(x)) \ \end{array}$ | 全称传递性 |