集合-函数-数列

集合

集合$A$等于集合$B$当且仅当$∀x(x\in A↔︎x\in B)$
集合$A$是集合$B$的子集当且仅当$∀x(x\in A→x\in B)$
集合$A$是集合$B$的真子集当且仅当$∀x(x\in A→x\in B)∧∃x(x∈B∧x∉A)$
幂集合：幂集合是集合$S$所有子集的集合，包含空集合集合$S$本身，用$P(S)$表示
- 如果集合有$n$个元素，那么幂集合的个数为$2^n$个
有序$n$元祖，是由$n$个元素构成的有序组。
笛卡儿积：集合$A_1,A_2,\dots,A_n$的笛卡儿积用$A_1\times A_2\times \dots \times A_n$表示，这是有序$n$元组$(a_1,a_2,\dots,a_n)$的集合，其中对于$i=1,2,\dots,n, a_i∈A$
$$
A_1\times A_2\times \dots \times A_n = {(a_1,a_2,\dots ,a_n)|a_i∈A,i=1,2,\dots,n}
$$
$∀x∈S(P(x))$是$∀x(x∈S→P(x))$的简写
$∃x∈S(P(x))$是$∃x(x∈S∧P(x))$的简写

等式	名称
$A∪\varnothing=A$ $A\cap U=A$	恒等律
$A\cup U=U$ $A\cap \varnothing=\varnothing$	支配律
$A\cup A=A$ $A\cap A=A$	幂等律
$\overline {(\bar A)}=A$	补集律
$A\cup B=B\cup A$ $A\cap B=B\cap A$	交换律
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$	结合律
$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$	分配律
$\overline{A\cup B}=\bar A\cap \bar B$ $\overline{A\cap B}=\bar A\cup \bar B$	德摩根定律
$A\cup(A\cap B)=A$ $A\cap(A\cup B)=A$	吸收律
$A\cup \bar A=U$ $A\cap \bar A=\varnothing$	补集

一组集合的并集是包含哪些至少是这组集合中一个集合成员的元素的集合
$$
A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_n=\underset{i=1}{\overset{n}\bigcup}A_i
$$
一组集合的交集是包含哪些属于这组集合中所有成员集合的元素的集合
$$
A_i\cap A_2\cap \cdots\cap A_n=\underset{i=1}{\overset{n}\bigcap}A_i
$$

n 表示整数

序列：序列是从整数集合的子集(通常是${0,1,2,\dots }$或${1,2,3,\dots }$)到集合$S$的函数。用记号$a_n$表示整数$n$的像，称$a_n$为序列的一个项。
有穷序列也被称作串，空串用$\lambda$表示。
几何序列：是如下形式的序列，即指数函数$f(x)=ar^x$离散对应物，初项$a$和公比$r$都是实数。
$$
a, ar, ar^2, \cdots ,ar^n, \cdots
$$
等差数列：是如下形式的序列，即线性函数$f(x)=dx+a$的离散对应物，初项$a$和公差$d$都是实数。
$$
a, a+d, a+2d, \cdots , a+nd, \cdots
$$

$$\sum_{j=0}^n ar^j = \begin{cases}
{ar^{n+1}-a\over {r-1}} 若r\neq 1 \[2ex]
(n+1)a 若 r=1
\end{cases}
$$