取整函数

上取整函数

上取整函数是指大于或等于实数 $x$ 的最小整数,用 $⎡x⎤$ 表示。

下取整函数

下取整函数是指小于或等于实数 $x$ 的最大整数,用 $⎣x⎦$ 表示。

下取整函数也被称为最大整数函数,这时往往用 $[x]$ 表示

性质

  • $⎣x⎦=n $ 当且仅当 $n\le x\lt n+1$
  • $⎣x⎦=n $ 当且仅当 $x-1\lt n\le x$
  • $⎡x⎤=n $ 当且仅当 $n-1\lt x\le n$
  • $⎡x⎤=n $ 当且仅当 $x\le n\lt x+1$
  • $x-1\lt ⎣x⎦\le x\le ⎡x⎤\lt x+1$
  • $⎣-x⎦=-⎡x⎤$
  • $⎡x⎤=-⎣-x⎦$
  • $⎣x+n⎦=⎣x⎦+n$
  • $⎡x+n⎤=⎡x⎤+n$

在考虑下取整函数相关的语句时,一个有用的方法是令 $x=n+\epsilon$,其中 $n=⎣x⎦$ 是一个整数,$\epsilon$ 是 $x$ 的分数部分,满足不等式 $0\le\epsilon\lt 1$。 类似的考虑上取整函数时,通常写作 $x=n-\epsilon$,其中 $n=⎡x⎤$ 且 $0\le\epsilon\lt 1$。